Exercícios sobre operações com conjuntos

Para cada item de (a.) até (n.) a seguir há uma operação com conjuntos e um diagrama representando três conjuntos A, B e C. Indique em cada diagrama o resultado da operação indicada.

a. $A\;\cup\;B$

b. $\;A\;\cup\;C$

c. $\;B\;\cup\;C$

d. $\;A\;\cap\;B$

e. $\;A\;\cap\;C$

f. $\;B\;\cap\;C$

g. $\;(A\;\cup\;B)\;\cap\;C$

h. $\;A\;\cup\;(B\;\cap\;C)$

i. $\;A\;\cup\;B\;\cup\;C$

j. $\;A\;\cap\;B\;\cap\;C$

k. ${\large \sideset{}{_S^{(A \cup B)}}\complement }$

l. ${\large\sideset{}{_S^A}\complement\; \cup \; \sideset{}{_S^B}\complement}$

m. ${\large \sideset{}{_A^{(A \cap B)}}\complement}$

n. ${\large \sideset{}{_B^{(A \cap B)}}\complement}$

resposta:

Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } , B = { 1, 2, 4, 6, 8 } e C = { 2, 4, 5, 7} , obter um conjunto X tal que X ⊂ A e A - X = B ∩ C .

resposta: X = {1, 3, 5}
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(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)

Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.

Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.

Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.

resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$
$\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$
b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$
c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.

×

Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elmentos de A ∩ (B ∪ C) sabendo-se que:
a) A ∩ B tem 26 elementos
b) A ∩ C tem 10 elementos
c) A ∩ B ∩ C tem 7 elementos

resposta:

Intersecção do conjunto A com a união dos conjuntos B e C

Resolução:
Observe a figura onde está representado A ∩ (B ∪ C) .
1)n(A ∩ B ∩ C) = b ⇒ b = 7
2)n(A ∩ B) = b + c ⇒ b + c = 26 ⇒ c = 19 pois b = 7
3)n(A ∩ C) = a + b ⇒ a + b = 10 ⇒ a = 3 pois b = 7
Então n[A ∩ (B ∪ C)] = a + b + c = 3 + 7 + 19 = 29

n[A ∩ (B ∪ C)] = 29
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Numa escola existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se:
a) Quantas crianças existem na escola?
b) Quantas crianças ou são meninas ou são ruivas?

resposta:

a) Existem 70 crianças na escola
b) 57 crianças são meninas ou são ruivos.
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(ITA - 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A , B e C quaisquer:

A negação de x ∈ A ∩ B é: x ∉ A ou x ∉ B .

II.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

III.

(A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Destas, é (são) falsa (s)

apenas I

apenas II

apenas III

apenas I e III

nenhuma

resposta: (E)
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(CPCAR - 2002) Considere os conjuntos:

A = {a ∈ N* | a < 5}

B = {b ∈ Z | 1 < b < 5}

C = {c ∈ N* | 2c² - 8c = 0}

D = {x ∈ N | x é primo e x < 7}

se A ∩ E = {3} e B ∪ E = D ∪ C , então o conjuto E é igual a:

{3}

{3, 5}

{3, 5, 7}

{3, 4, 5}

{3, 7}

resposta: (B)
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Hachurar na figura abaixo A ∩ B ∩ C .

diagrama de Venn-Euler dos conjuntos A B e C

resposta: